Cuarto Periodo
Objetivo Particular del Periodo:
El
alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en
problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
MODULO 4. Sistemas de
ecuaciones lineales y matrices
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.
En este video se muestra cómo solucionar las ecuaciones
lineales.
Reyes Jairo. (2014). Sistema de ecuaciones. Noviembre 28, 2015, de Blogger Sitio web: https://www.google.com.mx/search?q=representacion+grafica+de+las+consistentes&biw=1366&bih=673&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiIx-TA1bPJAhWEcz4KHX72Au8Q_AUIBigB#tbm=isch&q=representacion+parametrica+de+las+consistentes+e+inconsistente&imgrc=3Z2NwthbawviDM%3A
En el siguiente video se expresa un sistema de m ecuaciones con n incógnitas en forma matricial. Define conceptos como matriz principal, matriz de las incógnitas, matriz de los términos independientes y matriz ampliada.
Operaciones en renglones de
matrices
Matriz rectangular
Matriz cuadrada
Matriz traspuesta
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Propiedades
Vitutor. (2014). Regla de Cramer . 29/Noviembre/2015, de nexovitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.
El comportamiento del consumidor es el estudio del comportamiento que los consumidores muestran al buscar, comprar, utilizar, evaluar y desechar los productos y servicios que, consideran, satisfarán sus necesidades. El comportamiento del consumidor, como una disciplina del Marketing existe desde los años 60 y se enfoca en la forma que los individuos toman decisiones para gastar sus recursos disponibles (tiempo, dinero y esfuerzo) en artículos relacionados con el consumo
Derecho de autor:
Carlos. (2015). Sistema de ecuaciones. 28/Noviembre/2015, de
EducandoMath Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=M8NkVjgf1n4
4.1.1 Definición
En matemáticas y álgebra
lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal,
es un conjunto de ecuaciones lineales, definidas sobre un cuerpo o
un anillo conmutativo.
Derecho de autor:
Ibarra Reynaldo. (2012). Uso y aplicación de sistema de ecuaciones en la vida diaria. 28/Noviembre/2015, de Blogger Sitio web: http://sitemadeecuacionesenlavidadiaria.blogspot.mx/
Ibarra Reynaldo. (2012). Uso y aplicación de sistema de ecuaciones en la vida diaria. 28/Noviembre/2015, de Blogger Sitio web: http://sitemadeecuacionesenlavidadiaria.blogspot.mx/
4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes,
y su representación paramétrica del conjunto solución.
Consistentes
Los sistemas
consistentes, por otro lado, tienen al menos una solución. Esto significa que
las rectas se intersectan al menos una vez. Existen tres casos de sistemas
consistentes:
1)
Una intersección, como
generalmente se hace en las Secciones de sistemas lineales.
2)
Dos o más
intersecciones, como se puede ver cuando una ecuación de segundo grado
intersecta una ecuación lineal.
3)
Muchas intersecciones
infinitas, como ocurre con las rectas coincidentes.
Inconsistentes
Esta Sección se enfocará
en las últimas dos situaciones: sistemas que no tienen soluciones o sistemas
con una cantidad infinita de soluciones.
Un sistema con rectas
paralelas no tendrá soluciones.
Recuerda que las rectas paralelas tienen la
misma pendiente. Cuando sean graficadas, las rectas tendrán la misma
inclinación con diferentes intercepto en y− Por lo tanto, las rectas paralelas
nunca se intersectarán, así que no tendrán solución.
Derecho de autor:
Reyes Jairo. (2014). Sistema de ecuaciones. Noviembre 28, 2015, de Blogger Sitio web: https://www.google.com.mx/search?q=representacion+grafica+de+las+consistentes&biw=1366&bih=673&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiIx-TA1bPJAhWEcz4KHX72Au8Q_AUIBigB#tbm=isch&q=representacion+parametrica+de+las+consistentes+e+inconsistente&imgrc=3Z2NwthbawviDM%3A
4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).
Método de eliminación
por suma o resta
a) Se multiplican los
miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada
para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de
las incógnitas.
b) Por
suma o resta se elimina una de las incógnitas.
e) Se
resuelve la ecuación lineal resultante.
f) Se
sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales
para, encontrar el valor de la otra incógnita.
El método de igualación se puede entender como un caso particular
del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos
ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas
ecuaciones.
El método de sustitución consiste en despejar en una de las
ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor
coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su
valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada
debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones
excepto en la que la hemos despejado.
Derecho de autor:
Santiago
Quillupangui. (2003). Algebra Sistemas. 28/noviembre/2015, de Sistemas de
Ecuaciones Lineales Sitio web: https://sites.google.com/site/algebrasistemas/conceptos
4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los
que tienen el mismo
conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de
ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por
eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
· Todos los
coeficientes son ceros.
· Dos ecuaciones son
iguales.
· Una ecuación es
proporcional a otra.
· Una ecuación es
combinación lineal de otras.
Derecho de autor:
Vitutor.
(2014). Sistemas de ecuaciones equivalentes. 28/Noviembre/2015, de VITUTOR
Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html
4.1.5 Eliminación
de Gauss y Gauss-Jordan.
En matemáticas,
la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl
Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del
álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales, encontrar matrices e inversas.
Un sistema de ecuaciones
se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante
la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que
cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de
Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
El método de Gauss-Jordan
continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Derecho de autor:
Gines Jennifer. (2014).
Método de eliminación de Gauss-Jordan. 28/Noviembre/2015, de Utelblog Sitio
web: http://www.utel.edu.mx/blog/infografias-utel/metodo-de-eliminacion-de-gauss-jordan/
4.1.5.1
Definición de matriz.
El objeto con que se representan las
conexiones en la anterior página es una matriz.
En general, una matriz es un conjunto
ordenado en una estructura de filas y columnas.
Los elementos de este conjunto
pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma
particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente
las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los
elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan.
Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera
fila y segunda columna de la matriz A.
El
número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Dos
matrices son iguales si son de
igual dimensión y coincide el valor de los elementos
que ocupan la misma posición en ambas.
Derecho de autor:
Pepe Sacau Fontenla.
(2004). DEFINICIÓN DE MATRIZ. 28/Noviembre/2015, de Desartes Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3/defmat.htm
4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de
ecuaciones lineales.
En el siguiente video se expresa un sistema de m ecuaciones con n incógnitas en forma matricial. Define conceptos como matriz principal, matriz de las incógnitas, matriz de los términos independientes y matriz ampliada.
Derecho de autor:
José. (2013). Expresión matricial de un
sistema de ecuaciones lineales. 28/Noviembre/2015, de estudia Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Xn6TVlj2ilE
4.1.5.3
Operaciones elementales sobre renglones.
Operaciones en renglones de
matrices
Hay 3 operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un sistema de
ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es
conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad.
Las tres operaciones son:
·
Cambiar renglones
·
Multiplicar un renglón por un número
·
Sumar renglones
·
Nota
importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original
representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener una matriz identidad
usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o
hay infinitamente muchas soluciones al sistema.
Derecho de autor:
Lorena Vargas. (2001). Operaciones en
renglones de matrices. 28/Noviembre/2015, de Hotmath Sitio web: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/matrix-row-operations.html
4.1.5.4
Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.
Método de reducción de Gauss
El método de Gauss
consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos
la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales por filas la transformamos en una matriz triangular superior
(o inferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que
es muy fácil de resolver.
Reducción de
Gauss-Jordan
En matemáticas,
la reducción de Gauss-Jordan, llamada así debido
a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es
un algoritmo del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen
sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el
que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El
método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular
superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta
obtener una matriz diagonal.
4.1.5.5
Sistemas homogéneos.
Si un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas tiene todos los términos
independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución
trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema
homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz
de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma,
que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
Observemos que esto se debe a que:
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en
el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el
sistema compatible indeterminado.
Derecho de autor:
Vitutor. (2014). Sistemas homogéneos. 28/Noviemmbre/2015, de nexovitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html
Vitutor. (2014). Sistemas homogéneos. 28/Noviemmbre/2015, de nexovitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html
4.2 Álgebra de Matrices
Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij =
0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la
cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
|
A+(B+C) = (A+B)+C
|
Regla asociativa de
adición
|
|
A+B = B+A
|
Regla conmutativa de
adición
|
|
A+O = O+A = A
|
Regla unidad de
adición
|
|
A+( - A) = O = ( -
A)+A
|
Regla inversa de
adición
|
|
c(A+B) = cA+cB
|
Regla distributiva
|
|
(c+d)A = cA+dA
|
Regla distributiva
|
|
1A = A
|
Unidad escalar
|
|
0A = O
|
Cero escalar
|
|
A(BC) = (AB)C
|
Regla asociativa de
multiplicación
|
|
AI = IA = A
|
Regla unidad de
multiplicación
|
|
A(B+C) = AB + AC
|
Regla distributiva
|
|
(A+B)C = AC + BC
|
Regla distributiva
|
|
OA = AO = O
|
Multiplicación por
matriz cero
|
|
(A+B)T =
AT + BT
|
Trasposición de una
suma
|
|
(cA)T =
c(AT)
|
Trasposición de un
producto escalar
|
|
(AB)T = BTAT
|
Trasposición de un
producto matriz
|
La única regla que está notablemente ausente es la de
conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es
conmutativo: AB no es igual a BA en general.
4.2.1 Tipos
de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz
transpuesta).
Matriz rectangular
La
matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La
matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los
elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La
diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de
la matriz.
Matriz traspuesta
Dada
una matriz A, se
llama matriz traspuesta de A
a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Matriz triangular superior
En
una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En
una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros.
Derecho de autor:
Vitutor.
(2014). Tipos de matrices. 29/Noviembre/2015, de nexovitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html
4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por
escalar y producto de matrices).
Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la
matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es
decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con
el segundo de B y así sucesivamente.
La matriz suma es del mismo orden que el de
las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.
Multiplicación de una matriz por un número
real cualquiera.
Si
tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto
de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar
cada elemento de A por k.
Derecho de autor:
Laura.
(2013). Operaciones de matrices. 29/Noviembre/2015, de Profession Sitio web: http://www.proferiera.comocreartuweb.es/material5/unidad2/suma.html
4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.
Interna:
La
suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A
+ (B + C) = (A + B) + C
Elemento
neutro:
A
+ 0 = A
Donde
O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento
opuesto:
A
+ (−A) = O
La
matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A
+ B = B + A
Producto
de un escalar por una matriz
Dada una matriz A= (aij) y un número
real k pertenece R, se define el producto de un número real por una matriz: a
la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por
k.
4.2.4 Matriz inversa.
Si premultiplicamos
(multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la
derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.
A ·
A−1 = A−1 · A = I
Propiedades
1 (A · B)−1 = B−1 · A−1
2 (A−1)−1 = A
3 (k · A)−1 = k−1 · A−1
4 (At)−1 = (A−1)t
4.3
Determinantes
Los
determinantes constituyen potentes herramientas que se utilizan comúnmente para
la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Aunque anteriores
históricamente a las matrices, en la actualidad se emplean como entidades
matemáticas complementarias de éstas últimas.
Desarrollo de un determinante
El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los
adjuntos de los elementos de su matriz correspondiente. Así, dada una matriz A,
el valor de su determinante |A| es igual a la suma de los productos de cada uno
de los elementos de una de sus filas o sus columnas por los adjuntos
respectivos de dichos elementos.
4.3.1
Definición de un determinante.
En Matemáticas se define el determinante como
una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie
de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo
aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de
volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los
sistemas de ecuaciones lineales.
Los determinantes hicieron su aparición en
las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue
creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre
de los determinantes”.
Algunos de los más grandes matemáticos de los
siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los
determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la
teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el inventor del cálculo
diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a
los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen
que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.
Las contribuciones más prolíficas a la teoría
de los determinantes fueron las del matemático francés Agustín-Louis Cauchy
(1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la
primera demostración del teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas
otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de cálculo de 1829 Leçons
sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de
límite.
Cauchy
escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo
Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la
teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad,
geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas.
Derecho de autor:
Kline,
Morris. (1990). Mathematical
Thought from Ancient to Modern Times 2. 0-19-506136-5., de Nueva
York: Oxford University Press. Sitio web: ISBN
4.3.2
Expansión por cofactores.
Se explica como calcular determinantes con cofactores
Derecho de autor:
Marcel Ruiz. (2009). Se explica como
calcular determinantes con cofactores. 29/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web:
https://www.youtube.com/watch?v=AFOEaV228EA
4.3.3 Propiedades de los determinantes.
Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación,
son válidas cualquiera que sea su orden. No obstante, para facilitar su
comprensión, utilizaremos determinantes de orden 2 y 3.
Las comprobaciones de las mismas se pueden hacer fácilmente desarrollando los
determinantes.
1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante
de su traspuesta, es decir: Det ( A ) =
Det ( At )
2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su
determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.
3ª Si multiplicamos todos los
elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número k, su determinante queda multiplicado por
dicho número.
4.3.4 Regla
de Cramer.
La
regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que
cumplan las siguientes condiciones:
1 El
número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2 El
determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales
sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de
Cramer.
Sea
Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Todo
sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible
determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:
Δ1, Δ2 , Δ3, ... , Δn son los
determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los
términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y
en la enésima columna respectivamente.
Derecho de autor:
Vitutor. (2014). Regla de Cramer . 29/Noviembre/2015, de nexovitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.
4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto,
análisis de ventas y comportamiento del consumidor.
El Modelo Insumo Producto (MIP)
Puede
definirse como un método de análisis, utilizado tanto en economía teórica como
aplicada, que tiene por objeto encontrar las relaciones entre los diferentes
factores de producción utilizados y el producto que se obtiene de ellos. El
análisis de insumo-producto no tiene en cuenta la demanda; su objetivo es
determinar el nivel de eficiencia para un conjunto finito de factores con el
propósito de producir un conjunto previamente determinado de bienes (Clark,
1964). Para llegar a este objetivo se considera un conjunto de ecuaciones
lineales relacionadas entre sí cuya solución se obtiene mediante técnicas de
programación lineal.
Análisis de venta
Aplicación que permite
tomar decisiones sobre las orientaciones comerciales de la empresa. Para ello
es necesario contar con una información cuantitativa y cualitativa de los tres
últimos años, a nivel general de las ventas de la empresa, a nivel de
delegación, de vendedor.
Comportamiento del consumidor
El comportamiento del consumidor es el estudio del comportamiento que los consumidores muestran al buscar, comprar, utilizar, evaluar y desechar los productos y servicios que, consideran, satisfarán sus necesidades. El comportamiento del consumidor, como una disciplina del Marketing existe desde los años 60 y se enfoca en la forma que los individuos toman decisiones para gastar sus recursos disponibles (tiempo, dinero y esfuerzo) en artículos relacionados con el consumo
Derecho de autor:
Lopez Lopez Juan Carlos.
(2003). Modelo Insumo producto. 29/Noviembre/2015, de Blogger Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos-pdf3/modelo-insumo-producto/modelo-insumo-producto.shtml#ixzz3spRKjaY7
Derechos de autor:
ARYA LARDNER
IBARRA. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Quinta
Edición.
Conclusión:
Gracias a la información vista
en este módulo me di cuenta que el álgebra es importante de conocer y saber
realizar los problemas ya que abarca muchos aspectos más, porque con esto
podemos resolver problemas
del ámbito económico y de gestión de negocios, aunque al principio creemos que
no lo vamos a utilizar en la vida diaria pues es mejor aprender a resolverlos y
no utilizarlos, que tener que utilizarlos y no aprenderlos.
Bibliografía:
Muy bonito trabajo, me llamo la atención el tema del comportamiento del consumidor, y todos los temas que manejas, ya que son para aplicarlos en empresas.
ResponderEliminarMe parece comprensible tu informacion y explicada de buena manera.
ResponderEliminarBuen trabajo.
Muy buen blog, los ejemplos que vienen en la información son muy prácticos
ResponderEliminarBuen blog, la información que proporcionas es muy entendible, y los videos que hay en esta unidad son muy buenos porque facilitan a comprender mejor cada tema en especifico.
ResponderEliminarMe parece un buen blog ya que cada información que aportaste es muy defendible, me facilito en comprender muchas dudas que tenia.
ResponderEliminarMuy buen blog, se comprende muy bien el tema y los videos muy claros se nota la dedicacion y el desempeño que expresastes en el.
ResponderEliminarme agrado mucho la informacion del modulo 2 ya que esta muy entendible y los videos muy bien explikados
ResponderEliminarMuy buen blog, principalmente a destacar es el orden y facilidad para ubicar cada tema, ya que utilizas diferentes colores para saber cuál es el tema y un subtemas, se nota la dedicación y desempeño. Al igual tiene muy buen contenido, acaparando cualquier duda…. Reitero el orden, texto justificado, el interlineado, sobresale mucho, felicidades EXCELENTE TRABAJO.
ResponderEliminarIsabel, muy buen trabajo, desde el orden, la información, los videos todo de una manera muy bien ordenada, cada tema fácil de entender, la información muy clara y precisa, los videos complementan demasiado ya que están muy bien elegidos cada uno de ellos; en especial lo de los sistemas de ecuaciones lineales muy bien explicados con la teoría y los videos le dan un toque más dinámico a todo el blog.
ResponderEliminarEn pocas palabras muy muy bien tu blog Isa.
Felicidades.
Muy interesante este trabajo Marisa, me sorprende ver el orden, la claridad y todos los temas tan completos, comparto tu idea en tus resúmenes, también creo que estos temas si nos ayudan de alguna forma en la vida cotidiana que llevamos. Si en un futuro necesito retomar los temas de este curso, creo que este trabajo sería de mis primeras opciones para consultar, tienes mi visto bueno. FELICIDADES!!
ResponderEliminarTus ejemplos son muy claros al igual que tu informacion, sirviendonos de apoyo para una vida futura como administradores en proceso.
ResponderEliminarBuen blog
Me parece perfecta tu información, la adecuada y sobre todo muy comprensible, el orden que llevas me parece muy interesante. Buen trabajo.
ResponderEliminarMuy buen blog, muy buena información y buenos videos, gran trabajo
ResponderEliminarIsabel muchas felicidades que buen blog, tu siempre eres muy dedicada en todo lo que haces y hoy no cambio te felicito por tu informacion porque supiste seleccionar la mejor encerio me encanto tu blog !
ResponderEliminarMuchas felicidades por tu blog.
ResponderEliminarLo eh encontrado muy interesante y me ha aportado bastante ayuda para aclarar procedimientos y temas que creí serían más complicados.
excelente trabajo Isabel entendible y muy buena información confiable y precisa felicidades por tu trabajo que es muy bueno
ResponderEliminarMuy buen trabajo, me gustaron tus videos, son muy claros
ResponderEliminarbuen trabajo isabel, tienes muy buena informacion
ResponderEliminar