Tercer
Periodo
Objetivo Particular del
Periodo:
El alumno comprenderá
el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá
problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del
entorno económico-administrativo.
El alumno aplicará
técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras
complejas asociadas con modelos y problemas del entorno
económico-administrativo.
El alumno entenderá los
conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito
económico y de gestión de negocios.
MODULO 3. Integral
Definida
3.1 Área bajo la curva.
En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más
simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x.
La integral de una función f entre los límites de integración a y b
pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f.
Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los
polinomios, la exponencial o logarítmica.
Derecho de autor:
García Jaime. (2011). Cálculo Integral. 26/Noviembre/2015, de blogspot Sitio web: http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/06/311-area-bajo-la-grafica-de-una-funcion.html
García Jaime. (2011). Cálculo Integral. 26/Noviembre/2015, de blogspot Sitio web: http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/06/311-area-bajo-la-grafica-de-una-funcion.html
3.2 Teorema Fundamental del cálculo.
El Teorema
Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular
integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las
sumas de Riemann.
Conceptualmente,
dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando
que ambos procesos son mutuamente inversos.
Teorema fundamental del cálculo:
Sea f
una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:
i) F es
continua en [a, b]
ii) En todo
punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en
dicho punto, y F'(c) = f(c).
Derecho de autor:
Julio. (2012). Teorema
Fundamental del Cálculo. 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
3.3 Propiedades de la integral definida.
Propiedades
básicas de la integral definida
Se muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede proporcionar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una constante, es la constante por la integral de dicha función
En este video se explica qué es la integral definida y cuáles son sus propiedades. Habíamos dicho en videos anteriores que la integral definida era una forma de resumir el límite que equivale al área bajo una curva en el intervalo a, b. Asumiendo que todas las imágenes de la función son positivas entre a, b. Se escoge la notación de integral definida para simbolizar suma entre a y b, de la función por el dx. La notación lo que nos dice es que sumemos los productos en el intervalo entre a y b. Se tiende a decir que una integral definida es un área, y esto no es del todo cierto, ya que una integral definida es en realidad una suma de áreas. Cuando nos encontremos con un área negativa, lo que hacemos es tomar valor absoluto. Recordemos que debemos observar bien al hallar integrales, cuándo los valores de la función se hacen negativos.
Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos proporcionar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a.
Otra propiedad importante es la que nos dice que si tenemos que calcular una integral de la suma de varias funciones, es igual a tener la suma de la integral de cada función. La última propiedad explicada en este video dice que cuando tengamos una integral definida de una constante por una función, sería igual a tener la constante multiplicando la integral de la función. Con estas propiedades podremos manipular bien la notación de la integral definida. Finalmente se explica un ejemplo que demuestra que es más sencillo calcular la integral, no utilizando el límite de la sumatoria, sino reescribiéndolo con la notación de la integral definida.
Se muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede proporcionar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una constante, es la constante por la integral de dicha función
En este video se explica qué es la integral definida y cuáles son sus propiedades. Habíamos dicho en videos anteriores que la integral definida era una forma de resumir el límite que equivale al área bajo una curva en el intervalo a, b. Asumiendo que todas las imágenes de la función son positivas entre a, b. Se escoge la notación de integral definida para simbolizar suma entre a y b, de la función por el dx. La notación lo que nos dice es que sumemos los productos en el intervalo entre a y b. Se tiende a decir que una integral definida es un área, y esto no es del todo cierto, ya que una integral definida es en realidad una suma de áreas. Cuando nos encontremos con un área negativa, lo que hacemos es tomar valor absoluto. Recordemos que debemos observar bien al hallar integrales, cuándo los valores de la función se hacen negativos.
Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos proporcionar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a.
Otra propiedad importante es la que nos dice que si tenemos que calcular una integral de la suma de varias funciones, es igual a tener la suma de la integral de cada función. La última propiedad explicada en este video dice que cuando tengamos una integral definida de una constante por una función, sería igual a tener la constante multiplicando la integral de la función. Con estas propiedades podremos manipular bien la notación de la integral definida. Finalmente se explica un ejemplo que demuestra que es más sencillo calcular la integral, no utilizando el límite de la sumatoria, sino reescribiéndolo con la notación de la integral definida.
Derecho de autor:
TareasPlus. (2012). integral definida y sus propiedades. 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI
TareasPlus. (2012). integral definida y sus propiedades. 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI
3.4 Área entre una y dos curvas.
El área comprendida entre dos funciones es
igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la
función que está situada por debajo.
Derecho de autor:
Inetor. (2015). Área comprendida entre dos funciones. 26/Noviembre/2015, de NexoInetor Sitio web: http://www.inetor.com/definidas/integral_area2.html
Inetor. (2015). Área comprendida entre dos funciones. 26/Noviembre/2015, de NexoInetor Sitio web: http://www.inetor.com/definidas/integral_area2.html
3.5 Aplicaciones: Excedente del
consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.
Podemos definir el excedente del consumidor
como la diferencia entre el precio máximo que estaría dispuesto a pagar y el
precio que realmente paga. Consideremos la siguiente curva de demanda de un
individuo, si el precio de mercado es pE demandara qE. No
obstante, por la primera unidad hubiera estado dispuesto a pagar mucho más p1,
por la segunda unidad algo menos que por la primera pero más de lo que
realmente paga, y así sucesivamente hasta la cantidad qE en donde
coincide el precio que paga y el que está dispuesto a pagar. Gráficamente, la
zona que muestra la divergencia entre la disposición marginal a pagar y el
precio satisfecho reflejaría el excedente del consumidor.
Para estimar el excedente del productor
deberemos de partir de la función de oferta. Dado un precio en el mercado pE,
compararemos el precio al que estarían dispuestos a ofrecer cada unidad de
mercancía con el precio que realmente perciben. Y observaremos que hasta qE
el empresario por cada unidad ofrecida recibe un precio superior al que estaría
dispuesto a percibir. Dicha zona delimita gráficamente el excedente del
productor.
Derecho de autor:
Fernández Cantero Juan. (2005). Excedente del consumidor y
del productor. 26/Noviembre/2015, de Economía visual Sitio web: http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
El valor
del dinero en el tiempo es clave en Finanzas, en el sentido que siempre un peso
hoy vale más que un peso mañana. Para efectos de calcular en forma homogénea
los flujos que ocurren en distinto momento en el tiempo, debemos llevar todos
estos a un valor presente.
Derechos de autor:
Roberto Darrigrandi. (2010). El Valor
Presente y el Valor Futuro: una introducción. 26/Noviembre/2015, de Guioteca
Sitio web: http://www.guioteca.com/finanzas-aplicadas/el-valor-presente-y-el-valor-futuro-una-introduccion/
Derechos de autor:
ARYA LARDNER IBARRA. (2009). Matemáticas aplicadas a la
administración. México: Quinta Edición.
Conclusión:
Gracias a estos ejercicios comprendí el concepto de integral y como es
su gráfica, además aprendí que las integrales nos ayudan a resolver problemas
tanto económicos como administrativos, y en ocasiones por no saber utilizar
métodos de integración en los negocios, hablando de lo administrativo se nos
complican los trabajos por consiguiente es importante que nos percatemos que es
necesario aprender integrales, álgebra, etc. Porque no sabemos cuándo nos vaya
a tocar practicar en el trabajo.
Bibliografía:
http://www.economiavisual.com/html/Intro/Excedente%20del%20consumidor%20y%20productor.htm
Cuarto Periodo
Objetivo Particular del Periodo:
El
alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en
problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
MODULO 4. Sistemas de
ecuaciones lineales y matrices
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.
En este video se muestra cómo solucionar las ecuaciones
lineales.
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