Segundo
Periodo
Objetivo Particular del Periodo:
El alumno entenderá el
concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de
aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas
económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración,
Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.
MODULO 2. Integración
2.1 Antiderivada.
La
antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la
derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada
produce la función dada.
Por
ejemplo:
Si
f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no
existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5,
entonces es otra antiderivada de f(x).
La
antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se
expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la
variable de integración o diferencial de x y
C es la constante de integración.
Derechos del autor:
Lugos Jordy. (2009). Antiderivadas/Derivadas. 24
Noviembre 2015, de CI12-1TIA Sitio web: https://sites.google.com/site/ci121tialugosjordy/teorema-fundamental-del-calculo/antiderivadas
2.2 Integral indefinida.
En cálculo
infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de
una función f es una función F cuya derivada es f,
es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
El
proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración
indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales
indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través
del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de
calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Derechos del autor:
Jenny Camacho. (2007). Matematicas II. 26/11/2015, de Webquest Sitio web: http://phpwebquest.org/newphp/webquest/soporte_horizontal_w.php?id_actividad=19312&id_pagina=1
Jenny Camacho. (2007). Matematicas II. 26/11/2015, de Webquest Sitio web: http://phpwebquest.org/newphp/webquest/soporte_horizontal_w.php?id_actividad=19312&id_pagina=1
2.2.1 Integración con condiciones iniciales.
Para determinar las
constantes de integración es necesario conocer el estado del circuito en un
instante de tiempo determinado. En la práctica este instante se hace coincidir
con la conexión o desconexión de los interruptores. Por conveniencia se toma
t=0, de tal forma que t=0- representa el instante inmediatamente
anterior a la conmutación y t=0+ el inmediato posterior.
El estado del circuito en
t=0- se define con la tensión en bornes de capacidades e intensidades
por las bobinas. Estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
Para evaluar las
constantes de integración en t=0+ hay que tener en cuenta que
variables son continuas en t=0 (es decir f(0-)=f(0+)).
Derechos del autor:
Miguel Hernández de Elche. (2000). Análisis de Circuitos y
Sistemas Lineales . 26/Noviembre/2015, de Universitas Sitio web: http://repositorio.innovacionumh.es/Proyectos/P_19/Tema_2/UMH_03.htm
2.3 Fórmulas
básicas de integración.
La integración
es fundamental en las matemáticas avanzadas especializadas en los campos del
cálculo. Una integral es una ANTIDERIVADA, es decir, la operación inversa a
la derivada.
Recordemos que
como en las derivadas, las integrales poseen reglas, propiedades y formulas
para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en su inicio en forma de
S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia de otras
ecuaciones. Una integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada
al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración.
La
integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo:
La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)
La
integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la
exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla
establecida. Ejemplo
La
integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de
variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante
ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.
La
integral de un Binomio (V) es parecida a la formula 3, solo que acá al sacar la
derivada del binomio (dv) se comprueba que exista la derivada fuera de V, en
caso que no exista, se iguala hasta quedar exacto y se elimina, quedando solo
el binomio (V) mas la exponenciación + 1.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Se saca el binomio que es (2+X2)
La derivada del binomio es 2X y se le agrega dx, queda 2Xdx. Se comprueba que 2X coincida con el producto de afuera que es X, como es 2X y tenemos X solamente, entonces se tiene que igualar a 2X…¿Cómo?, multiplicando 2(X), lo que hagamos dentro se hace afuera pero en reciproco. Y se elimina la igualdad quedando lo restante.
Ya que se elimino el producto de afuera, se procede con la formula 3, y el ½ estará multiplicando al resultado que quede de la formula.
El 2
que esta en la división del binomio tiene que desaparecer, no se puede
multiplicar directo con el 2 de afuera. Para eliminarlo se debe multiplicar
medios
Derechos del autor:
Rafael. (2010). Introducción a las Formulas básicas de Integración.. 26/Noviembre/2015, de Ingenieria en sistemas de UAT Sitio web: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/
Rafael. (2010). Introducción a las Formulas básicas de Integración.. 26/Noviembre/2015, de Ingenieria en sistemas de UAT Sitio web: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/
2.3.1 Integral
indefinida de una constante.
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la
integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los
valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la
integración.
Esto también significa que la
solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del
integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un
integrando dado es
Aquí el valor de n no debe ser
igual a −1.
Para integrar un integrando de
la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el
valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el
denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no
es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero,
resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es
Esto significa que la
integración de una constante producirá la variable de integración como salida
con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de
integración las cuales se utilizan directamente para la integración de
funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas,
etc.
Algunas de estas fórmulas se
enumeran a continuación
Es
fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o
la división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar
a como lo hacemos con la suma o resta de dos o más funciones. Para integrar la
multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y
para la integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el
cociente.
El
cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales
indefinidas. Este método es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las
fórmulas de integración simple no se pueden aplicar directamente. Apartando
esto un pre- requisito importante para este método es que el integrando debe
definirse de forma tal que para cualquier función f(x) el integrando es la
multiplicación de la diferenciación de f(x) y función de f(x) como se muestra a
continuación.
Aquí tenemos g(x) como la
función principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producirá,
g(x) = a
g’(x) = da/ dx
da = g’(x) dx
Los valores anteriores pueden
ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se puede
seguir como es usual para el nuevo integrando.
Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro de la
expresión para obtener la respuesta final.
Para analizar si la
sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúrese que después
de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integración desaparezca
completamente del integrando.
Vale la pena saber que
generalmente no obtenemos el problema de la forma exacta que se ha descrito
anteriormente. Entonces tenemos primero que modificarlo a una forma en que la
sustitución pueda llevarse a cabo.
Veamos ahora un ejemplo para
entender el proceso de resolver integraciones indefinidas.
5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx
= 5ex + sin(x) – 5 tan(x) + c
Derechos del autor:
Lauro Soto. (2008). Definicion De Integral Indefinida.
26/Noviembre/2015, de Tecnologico Sitio web: http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeIntegralIndefinida
2.3.2 Integral de
una constante por una variable.
La integral de una constante
es igual a la constante por x.
Ejemplo
Integral de cero
Derechos del
autor:
Inetor . (2015). Integral de una constante .
26/noviembre/2015, de nexoinetor Sitio web: http://www.inetor.com/indefinidas/integral_constante.html
2.3.3 Integral de xn
Dando :
- El teorema
fundamental de cálculo
Demostración #2: El método
de Fermat
Siendo:
- 1 + r + r^2
+ .. + r^n = (1 - r^(n+1)) / (1-r)
- 1 + r + r^2
+ ... = 1 / (1-r) (r < 1)
= b^n*(b -
br) + (br)^n*(br - br^2) + (br^2)^n*(br^2
- br^3) + ...
= b^(n+1)(1-r)
+ b^(n+1)r^(n+1)(1-r) + b^(n+1)r^(2n+2)(1-r)
+ ...
= b^(n+1)(1-r) [ 1 + r^(n+1) + (r^(n+1))^2
+ ... ]
= b^(n+1)(1-r) [ 1 / (1-r^(n+1)) ]
(Teorema 2.)
= b^(n+1) / [ (1 - r^(n+1)) / (1-r) ]
= b^(n+1) / [ 1 + r + r^2 + .. + r^n
] (Teorema 1.)
= b^(n+1) / (n+1) (r -> 1) QED.
Derechos del autor
Leo. (2000). Integral x^n/b>. 26/Noviembre, de Math
Sitio web: http://www.math.com/tables/integrals/more/es-x%5En.htm
2.3.4 Integral de e
e^x =
e^x
Derecho de autor
Molina H. Elvira. (2005). Integral. 26/Noviembre/2015, de
CIC Sitio web: https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-4-por-partes
2.3.5 Integral de una constante por una función de x.
En este video vamos a
aprender como sacar la integral de una constante de x, pongamos atención.
Derecho de autor
Bonny. (2015). INTEGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN . 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9pwt-WKUtDE
Bonny. (2015). INTEGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN . 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9pwt-WKUtDE
2.3.6 Integral de
una suma (diferencia) de funciones.
La integral de la suma de dos funciones es la
suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la
diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones
individuales.
Derechos de autor:
José Andalón. (2012). Integral de la suma o resta de funciones - HD. 26/Noviembre/2015, de math2 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk
José Andalón. (2012). Integral de la suma o resta de funciones - HD. 26/Noviembre/2015, de math2 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yn_hFO6W6Jk
2.3.7 Regla de la
potencia.
La regla de la potencia de la integración
te da la solución general para la integral de cualquier variable elevada a
cualquier potencia excepto -1, lo que representa un caso especial. Ya que las
integrales son primitivas, en otras palabras, si integras la derivada de una
función, terminas con la función original, piensa en la regla de la potencia de
la integración como hacer lo contrario de lo que hace la regla de la potencia
para los derivados.
- Convierte las raíces cuadradas, raíces de otras
potencias y potencias en los denominadores a las funciones de potencia
estándar. La raíz cuadrada de x es igual a x ^ (1/2), la raíz cúbica de x
es igual a x ^ (1/3) y así sucesivamente para las otras raíces. Para mover
una potencia del denominador al numerador, toma la inversa de la potencia:
1 / x ^ 2 = x ^ -2, por ejemplo.
- Agrega uno al poder. Para int [(x ^ 3) dx], por
ejemplo, x ^ 3 se convierte en x ^ 4.
- Divide el resultado entre el nuevo poder. Por
ejemplo, x ^ 4 se convierte en (x ^ 4) / 4.
Derecho
de autor:
Wakefield Petra. (2013). Cómo utilizar la regla de la
potencia de la integración en cálculo. 26/Noviembre/2015, de eHow Sitio web: http://www.ehowenespanol.com/utilizar-regla-potencia-integracion-calculo-como_129387/
2.3.7.1 Integrales
que incluyen u
Se basa en realizar un
reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo
sencillo con una integral o
antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se
puede llevar a una integral de tabla para
encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla
de la cadena en la derivación.
Derecho de autor:
Montalvo Eduardo. (2013). como resolver integrales de (a^u)
"a" a la "u". 26/Noviembre/2015, de Youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=GTEeaDL-mzc
2.3.7.2 Integrales
que incluyen funciones exponenciales.
Método y
ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial
cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente
Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial
En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata).
Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial
En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata).
Derecho de autor:
Roberto. (2012). Integral de la
función exponencial. 26/Noviembre/2015, de tareasplus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI
2.3.8 Integrales que
incluyen funciones logarítmicas.
Integrales que generan logaritmos naturales.
Método para encontrar la primitiva de x a la menos uno y de una función a la menos uno por su derivada mediante el uso de la función logaritmo natural
Cuando se tenga que encontrar la integral de x a la menos uno diremos que la primitiva de esta función es el logaritmo natural del valor absoluto de x
Método para encontrar la primitiva de x a la menos uno y de una función a la menos uno por su derivada mediante el uso de la función logaritmo natural
Cuando se tenga que encontrar la integral de x a la menos uno diremos que la primitiva de esta función es el logaritmo natural del valor absoluto de x
Cuando debamos integrar al cociente entre la derivada de una función y su
función la primitiva será igual al logaritmo natural de la función (que se
encuentra en el denominador).
Derecho de autor:
Roberto. (2012). TareasPlus.
26/Noviembre/2015, de math2 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=l8P9GgVC1NM
2.3.9 Integrales que
incluyen (1/u)du
En este video nos enseña cómo resolver integrales de la
forma du/u
Derecho de autor.
José Andalón. (2012). Integral de la suma o resta de
funciones - HD. 26/Noviembre/2015, de math2 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9xS3kKGU2-A
2.3.10 Integrales incluyen au
En este video muestra como resolver integrales de (a^u) "a" a
la "u"
Derecho de autor:
José Andalón. (2013). Integral de la suma o resta de
funciones - HD. 26/Noviembre/2015, de math2 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=GTEeaDL-mzc
2.3.11 Integral por partes.
El método de integración por partes está basado en la derivada de
un producto de funciones como se muestra a continuación
D (u.v) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que
contienen dos funciones que se multiplican entre si.
Se llama integración por partes, porque la integral se divide en
dos partes una u y otra dv. La integral debe
estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo
más importante y se debe realizar de la siguiente manera
1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la
función más fácil de integrar,
2.- En u deben ir aquellas funciones que no
tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden
considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva.
Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.
Una de las reglas para saber si el
procedimiento realizado es correcto la integral resultante debe ser más
sencilla que la original o sino de igual dificultad.
Derecho de autor:
Busto Paula Andrea. (2011).
Cálculo. 26/noviembre/2015, de Roofoo Sitio web: http://www.calculointegrales.com/p/blog-page.html
2.4 Aplicaciones:
Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de
sus marginales.
CONSUMO
Es el intercambio de bienes (generalmente se
intercambia dinero o tiempo por cosas y/o servicios) para obtener una utilidad
personal derivada de la satisfacción de necesidades, es decir, e acto mediante
el cual se utilizan los bienes y servicios para satisfacer las necesidades.
AHORRO
Es el
acto mediante el cual se renuncia a una parte del posible consumo presente con
la finalidad de conseguir un aumento del consumo futuro.
COSTOS Y UTILIDADES
Derechos de autor:
ARYA LARDNER IBARRA. (2009). Matematicas aplicadas a la
administración . México: Quinta Edición .
Conclusión:
En este módulo entendí que las integrales y las derivadas son muy
importantes de aprender, aunque al principio es difícil de entender después de
que haces algo de práctica, se comienzan a facilitar, sabemos que para un
administrador tiene problemas a los que tiene que enfrentarse y con estas fórmulas
y ejercicios el día de mañana ni lo verá como problemas, ya que esto se lleva a
cabo en la área de mercadotecnia, recursos humanos, economía etc.
Bibliografía:
No hay comentarios:
Publicar un comentario