Primer Periodo
Objetivo Particular del Periodo:
El alumno
comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables,
así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo,
enfatizando aquellos del área de optimización de recursos.
MODULO 1. Introducción
al cálculo en dos variables.
1.1 Funciones en dos variables.
La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de
las funciones de una variable,
f : R ! R
El siguiente paso en complejidad lo representan las
funciones de dos variables. f : R2 ! R Estas
Funciones se representan a menudo mediante el símbolo:
z = f(x; y)
(Esta mezcla de notación z y f es común).
Es posible representar gráficamente una de estas funciones f
: R2 ! R mediante su gráfica:
Graf (f) = (x; y; z) 2 R3 j (x;
y) 2 U; z = f(x; y)
Esta grafica es, hablando informalmente, una superficie en
R3: sobre cada punto (x; y) del plano xy dibujamos un punto (x;
y; z) a altura z = f(x; y). El conjunto obtenido al
dibujar las imágenes de todos los puntos (x; y) de U es la gráfica
de f.
Henares. (2004). Funciones de dos variables. 24/11/2015, de
Ingenieria de Telecomunicacion Sitio web: http://www3.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/140-FuncionesDosVariables.pdf
1.2 Derivadas parciales
Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la
función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales
de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
;
(se empieza derivando por la variable que está más cerca de
la función)
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las
derivadas cruzadas son iguales.
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y
de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas entonces no
dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive
respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el
cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una función
a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:
Salvador Vera . (2000). Cálculo para la Ingeniería I.
24/11/2015, de Cálculo para la Ingeniería Sitio web: http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_3.html#superiores
Salvador Vera . (2000). Cálculo para la Ingeniería I.
24/11/2015, de Cálculo para la Ingeniería Sitio web: http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_3.html#superiores
1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de
dos variables que representen
gastos, ingresos o utilidad.
Función de Costo
Una función costo especifica el costo C como una función de la
cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y
tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es
constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
Función de ingreso
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es
el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el
ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la
función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso
marginal.
Ejemplo
Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción
rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces
I(x) = 6.50x dolares.
El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.
Función utilidad
La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos
después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número
de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La
utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:
Utilidad
=
Ingreso − Costo
U
= I − C
Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida
(de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere
decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre
cuando U = 0, o
I =
C
Equilibrio
El puno equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta
el equilibrio.
Ejemplo
Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya
tenemos las funciones costo y ingreso:
C(x) = 3.50x + 1200 dollars.
Costo diario de imprimir x libros
I(x) = 6.50x
dollars.
Ingresos por la venta de x libros
Stefan waner. (2009). Funciones y modelos .
24/Noviembre/2015, de Applied Calculus Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2A.html
ARYA LARDNER IBARRA. (2009). Matematicas aplicadas a la
administración . México: Quinta Edición .
Conclusión:
En esta unidad vimos lo que fue las funciones en dos o más variables, derivadas
parciales en las cuales también venían las derivadas parciales de orden
superior los ejercicios están fáciles
solo es cuestión de entender y aprender cómo realizar cada uno de ellos y poner
mucha atención en las indicaciones para no equivocarnos.
Bibliografía:
este blog tiene muy buena información esta bien explicado.
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